二元一次聯立方程式 | 七下數學 | 認識畫圖法 (上)

這篇文章將帶著各位認識國中七年級下學期會學到的內容：二元一次聯立方程式。並且會和各位介紹它的其中一種解法，也就是畫圖

前言

大家好！歡迎各位進入這篇文章，在這篇文章中，將帶著各位認識七年級下學期數學至關重要的一環：二元一次聯立方程式。這一單元的內容，不但在七年級會用到，到了八年級的各單元也總是會需要使用這個技巧，來解決各式各樣的題目。

國中的課程中，每一單元都息息相關，若是有一單元不熟悉，甚至會牽動到所有的課程。讓我們來認識二元一次聯立方程式吧！

先備知識

有一些重要的知識，必須要了解，否則若在未能理解這些先備知識的情況下就開始學習，必然不會有好的成效。

未知數

要進入解方程式的階段，必須要了解的就是未知數的概念，也就是國小時課本常以一個符號代替一個未知的數字，在國中階段通常以 $x$、$y$ 等英文字母來作為未知數。

方程式

解方程式前，首先要認識方程式，方程式是一個含有未知數的等式，其中必須包括的元素為 未知數 和 等號 。

並且，其中未知數的數量以 元 表示，其最高次數以 次 表示，例如一個有 $x$ 和 $y$ 組成，且方程式中未知數的最高次數為 1 的方程式會被稱為二元一次方程式。

例如：

$x^2+x+1=0$ 是一個一元二次方程式

$x^2+y+z=999$ 是一個三元二次方程式

定義

二元一次方程式，根據它的名稱可知，是由兩個未知數所組成，並且最高次數為一次的方程式。

例如：$x+y=5$ 是一個二元一次方程式。

而二元一次聯立方程式，即為數個二元一次方程式的組合，例如：

$$\{\begin{array}{c}x+y=2\\ x-y=0\end{array}$$

並且二元一次聯立方程式的解為兩個方程式共同的解，例如上面這個方程式的解是 $x=1$ $y=1$，可以表達為 $(x,y)=(1,1)$ ，並且這組解若代入到兩個方程式內都會成立等式。

解法

二元一次聯立方程式有三種常用的解法，並且其中以 代入消去法 和 加減消去法 最適合在解題時使用。礙於篇幅過長，因此將代入消去法與加減消去法放在下集講解，請前往下集閱讀。

畫圖法

以這組二元一次方程式作為例子：

$$\{\begin{array}{c}x+y=3\\ x-y=1\end{array}$$

將兩個方程式分別在直角坐標內畫出：

此時，兩條直線的交點之x座標與y座標便會是此聯立方程式的解 $x=2$ $y=1$ 。

使用這種方法，同時也可以判斷方程式的解的情形(一組解、無限多組解或無解)，例如：

$$\{\begin{array}{c}x+y=3\\ x+y=1\end{array}$$

這組方程式的圖形為：

由於兩條直線平行，沒有交點，因此可判斷為無解。

而這組方程式：

$$\{\begin{array}{c}x+y=3\\ x-3=-y\end{array}$$

畫為圖形後，會發現兩條方程式圖形直線是重疊在一起的：

因此，直線上的任何一個點都可以作為方程式的解，因此有無限多組解。

重點整理

這邊為各位整理這篇文章的重點

畫圖法

• 將兩個二元一次方程式的圖形繪於同一張直角座標圖
• 情況1：若兩條直線有交點，則該聯立方程式的解為焦點的x座標與y座標
• 情況2：若兩條直線沒有焦點，則該聯立方程式無解。
• 情況3：若兩條直線完全重疊，則該聯立方程式有無限多組解，任何位於該直線上的點皆為其解。

結論

這篇文章介紹了二元一次聯立方程式的相關知識與其定義，並指導各位以畫圖法解二元一次聯立方程式，下集的文章將會介紹二元一次聯立方程式的 代入消去法 與 加減消去法 ，是非常重要的技巧，請務必前往閱讀哦！